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現代教育通訊
MERS Bulletin
現代教育通訊 101期 前期教訊：
第101期《現代教育通訊》
　有關H.C.F.和L.C.M.的一道難題
■曾健華 ■資深數學教育工作者
I. 介紹難題
　　去年的聖誕節假期間，一位中學同學來電，希望我能幫他的女兒解答一道數學難題。他的女兒就讀於一所國際學校的第七班（約相當於本地學校的小六至中一程度），該校的數學科課程較重視培養學生的數學探究、解難、分析和推理能力，而此難題是聖誕節假期數學科家課的其中一題。
　　這道難題是有關最大公因數（H.C.F.）和最小公倍數（L.C.M.）的，題目如下：
　　　　　　兩個三位數的最大公因數是23，而11 和17 是這兩個三位數的最小公倍數的其中兩個因數。求該兩個三位數。
　　最大公因數和最小公倍數也是香港小學數學科課程內的「學習重點」，而探究、解難和推理等高階思維亦是香港數學科課程所強調的共通能力。因此，筆者想和香港的小學數學科教師分享解答以上難題的解難過程，促使教師們多反思怎樣的數學題目和教學，能強化學生的數學探究、解難和推理等能力的發展。在以下論述的解難過程中，筆者會向讀者提出不同的問題，促進讀者的反思。

II. 難題的題解
　　設該兩個三位數為x 及y。
（1）題解的初步探索 －
　　因為23 是 x 及y 的最大公因數，因此，x = 23 | a，而y = 23 | b，其中 a 和 b 為互質的整數（即除1 外，a 和b 沒有任何公因數）。為甚麼 a 和 b 必須為互質的整數？（1）* ［* 本文中問題（ 1）至（ 11）的答案刊於本頁尾。］
　　若11和17是 x 及 y 的最小公倍數的其中兩個因數，我們可有哪些有關 a 和 b 的數值的情況？
　　（i） a = 11、b = 17，即 x = 23 | 11，而 y = 23 | 17；這情況可以嗎？（2）*
　　（ii） a = 11 | 17、b = 1，即 x = 23 | 11 | 17，而 y = 23；這情況可以嗎？（3）*
　　∴該兩個三位數是23 | 11（ = 253） 和23 | 17（ = 391）。
　　但253 和391 是該兩個三位數的唯一答案嗎？（4）*
　　除了以上（ i） 和（ ii） 的情況外，可還有其它的可能性？
（2）題解的全面探索 －
　　因為23 是 x 及 y 的最大公因數，而11 和17 是 x 及 y 的最小公倍數的其中兩個因數，因此
　　x = 23 | 11 | h = 253 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數，
　　y = 23 | 17 | k = 391 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數，
　　且h 和k 為互質的整數。
　　當 h = 1 和 k = 1 時，該兩個三位數的其中一組答案是 x = 253 及 y = 391。這組答案已在「題解的初步探索」中求得，而這組答案其實是該兩個三位數的最小值。
　　當 h、k 依次取其它不同的連續整數值，使 h、k 保持互質，且 x = 253 | h 及 y = 391 | k 仍然為三位數時，我們便可得出答案的其它可能性。
　　讓我們用「窮盡法」，有系統地為 h、k 依次取不同的連續整數值，如下列所示。
　　我們先取 k = 1，再從 h = 2 開始，考慮h 不同的連續整數值。
　　第二組答案：當 h = 2 和 k = 1 時，x = 253 | 2 = 506 及y = 391 | 1 = 391
　　第三組答案：當 h = 3 和 k = 1 時，x = 253 | 3 = 759 及y = 391 | 1 = 391
　　我們可否有 h ≥ 4 和 k = 1 的情況？為甚麼？（5）*
　　我們接着取 k = 2，再從 h = 1 開始，考慮 h 不同的連續整數值。
　　第四組答案：當h = 1 和 k = 2 時，x = 253 | 1 = 253 及 y = 391 | 2 = 782
　　我們可否有h = 2 和k = 2 這情況？為甚麼？（6）*
　　第五組答案：當 h = 3 和 k = 2 時，x = 253 | 3 = 759 及 y = 391 | 2 = 782
　　當h = 1、2 或3 時，我們可否有k ≥ 3 的情況？為甚麼？（7）*
　　因此，綜合以上各情況，該兩個三位數可以是253 及391；506 及391；759 及391；253 及782；759 及782（ 即共有五組這樣的三位數）。
　　到此，我們已完滿地解答了原有的難題。但我們可否進一步深化和探討這難題？

III. 難題的進一步探索：
　　我們可改變一下原有的難題所給出的條件，繼而考慮我們可否採用上述的解題策略來解答新的問題，或我們應怎樣修訂上述的解題策略來應付新的問題。讓我們嘗試探討下列的情況：
1. 若23 是兩個整數的最大公因數，而11 和17 是這兩個整數的最小公倍數的其中兩個因數，這兩個整數可否同時是兩位數？
2. 兩個四位數的最大公因數是23，而11 和17 是這兩個四位數的最小公倍數的其中兩個因數。求該兩個四位數。
3. 兩個三位數的最大公因數是23，而15 和21 是這兩個三位數的最小公倍數的其中兩個因數。求該兩個三位數。
4. 兩個三位數的最大公因數是20，而15 和21 是這兩個三位數的最小公倍數的其中兩個因數。求該兩個三位數。
　　讀者們能否察覺到以上的各個問題與原有的難題有甚麼相似和相異之處？
　　這些相似和相異之處會怎樣影響上述所討論過的解題策略，以便解答以上的各個問題？
　　問題1 的答案應是較明顯的，為甚麼？（8）*
　　問題2 的解題策略與解答原有難題的策略應是十分相似的，但需作出怎樣的修訂？（9）*
　　問題3 所給出的條件與原有難題所給出的條件有一不同之處，就是這兩個三位數的最小公倍數的其中兩個因數（15 和21）不是互質的因數。我們可否採用解答原有的難題的策略來解決這情況？為甚麼？（10）*
　　為了解答問題3，我們可怎樣把這兩個三位數寫成它們的質因數的連乘式？（11）*
　　問題4 所給出的條件與原有難題所給出的條件亦有不同之處，就是這兩個三位數的最大公因數（20）不是一個質數，而它們的最小公倍數的其中兩個因數（15 和21）也不是互質的因數。有關問題4 的解題策略會留給讀者們自己嘗試。

IV. 總結：
　　無可否認，本文所提出的難題是艱深的，但解題過程中所涉及的數學概念和原理亦非超出香港小學數學科課程的範圍，只是本地小學階段的學習中較少要求學生解答需要有系統地分析和思考的數學題目。若教師們希望加強學生的數學高階思維的發展，可考慮在課堂內定期地深入探索和討論類似的難題。

有關H.C.F和L.C.M.的一道難題
　　筆者提出的問題的答案：
（1） 若 a 和 b 不是互質的整數，即除1 外，a 和 b 有其它的因數，那麼 x 及 y 的最大公因數就不會是23。
（2） 這情況是可以的，因為 a = 11、b = 17 完全滿足題目給出的條件，即 x = 23 | 11 = 253 及y = 23 | 17 = 391，可見 x 及 y 都是三位數，而23 是 x 及 y 的H.C.F.，且11 和17 是 x 及 y的L.C.M. 的因數。
（3） 這情況是不可以的， 因為 a = 11 | 17、b = 1 不能滿足題目給出的條件， 即x = 23 | 11 | 17 = 4301 及y = 23 都不是三位數。
（4） 不是，因為題目指出11 和17 只是該兩個三位數的最小公倍數的其中兩個因數，即除了23、11 和17 外，該兩個三位數的最小公倍數還可有其它的因數。
（5） h ≥ 4 和k = 1 的情況是不可能的。若 h = 4，則 x = 253 | 4 = 1012，那麼 x 便不是一個三位數，違反了題目給出的條件。
（6） h = 2 和k = 2 這情況是不可能的。若h = 2 和k = 2，則 x = 23 | 11 | 2 及y = 23 | 17 | 2，那麼x 及y 的最大公因數便是23 | 2，違反了題目給出的條件。
（7） k ≥ 3 的情況是不可能的。若 k = 3，則 y = 391 | 3 = 1173，那麼 y 便不是一個三位數，違反了題目給出的條件。
（8） 同樣地，設這兩個整數為 x 及 y，而 h 和 k 為互質的整數，則
　　x = 23 | 11 | h = 253 | h，其中h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | 17 | k = 391 | k，其中k 可以是 y 的另一個因數
　　或
　　x = 23 | 11 | 17 | h = 4301 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | k，其中k 可以是y 的另一個因數
　　∴ x ≥ 253 及y ≥ 391 或x ≥ 4301 及y ≥ 23
　　因此，這兩個整數不可以同時是兩位數。
（9） 同樣地，設這兩個四位數為 x 及 y，而 h 和 k 為互質的整數，則
　　x = 23 | 11 | h = 253 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | 17 | k = 391 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數
　　或
　　x = 23 | 11 | 17 | h = 4301 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數
　　但 x 及 y 都是四位數，因此我們需考慮選取不同的 h 和 k 的值使 x 及 y 都是四位數，而 x 及y 的H.C.F. 是23，且 h 和 k 為互質的整數，便可求得該兩個四位數的所有可能答案。
（10） 不可，理由如下。
　　若我們同樣地設
　　x = 23 | 15 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數，而
　　y = 23 | 21 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數，
　　因3 是15 和21 的公因數，則 x 及 y 的H.C.F. 不會是23，而是23 | 3，違反了題目給出的條件。
（11） 15 和21 的所有質因數包括3、5 和7。
　　設這兩個三位數為 x 及y，而 h 和 k 為互質的整數，則
　　x = 23 | 3 | 5 | h = 345 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | 7 | k = 161 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數
　　或
　　x = 23 | 3 | 7 | h = 483 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | 5 | k = 115 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數
　　或
　　x = 23 | 5 | 7 | h = 805 | h，其中 h 可以是 x 的另一個因數
　　y = 23 | 3 | k = 69 | k，其中 k 可以是 y 的另一個因數
　　我們只需考慮選取不同的 h 和 k 的值使 x 及 y 都為三位數，而 x 及 y 的H.C.F. 是23，且 h和 k 為互質的整數，便可求得該兩個三位數的所有可能答案。