引言
上文從理論角度出發，集中回應「何謂具現實或非現實情境？」。筆者甚為認同弗蘭登塔爾(Hans Freudenthal) 的主張，數學教學活動設計必須是情境化和生活化，而情境設計亦應包括兒童日常生活中所觸及和喜愛的具想像非現實經驗。至於何謂具想像的非現實情境，筆者認為奇雅宏伊勤(Kieran Egan) 的學養心智理論甚具參考價值，其建議就是那些具文化內涵養份，而又能啟發兒童的神話和浪漫層面領悟的教學情境。本文會集中與讀者分享一些非現實情境的教學設計實例，續後的文章，會有更多的教學設計實例( 包括具現實或非現實情境)，並為情境化教學設計作更深入分析。
神話層面領悟：稀奇古怪的事物
學養心智理論指出我們出生之初的領悟都屬於肉身層面。當我們從所成長的社會中習得和發展某些智性工具，其他層面的領悟也就隨之而來。兩歲半至八歲的兒童要主力發展神話層面領悟，其領悟特徵之一是幻想。「世界不同地方的兒童幾乎都會對幻想故事中那些稀奇古怪的事物感到雀躍不已，例如是穿上衣服、會說話的兔子、小熊或其他動物」(Egan 1997, 頁44)。其他的特徵還包括比喻、韻律、情節和映像等。伊勤認為，這些特徵是口語發展的必然結果，這對於世界上不同地方、歷史上不同階段的口語社會，或者是世界各地兒童在學習運用語言的過程中，都是必然出現的結果。因此，在幼兒及初小教育階段的教學設計中，可多引入幻想故事和會說話的動物等具想像的非現實元素(Egan, 1988a; 1988b; 1997; 2005)。《現代小學數學》的課業設計，亦有引入這種兒童日常生活中會觸及和喜愛的非現實元素，1 上B 單元六的順數和倒數課業是其中一個例子（見圖一）。
| 圖一：順數和倒數（1-20） |
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浪漫層面領悟：神話和理性的結合
學養心智理論建議，八歲至十五歲少年是發展浪漫層面領悟的重要階段。伊勤認為浪漫層面領悟是由讀寫能力發展所建立的一種獨特的領悟方式。希羅多德 (Herodotus) 的《歷史》(Histories) 是浪漫式領悟的一個早期和相當清晰的體現。這部著作寫於公元前600年，這時文字書寫開始融入古希臘的社會生活當中。「《歷史》這部著作就像古代的健力士紀錄大全，當中充滿了歌頌勇敢和高尚品德的故事，關於域外和奇特見聞的描述，令人讚歎的成就，以及對碩大無朋、奇形怪狀的建築物所發出的讚美句語。如果沒有文字書寫的話，這個層面的領悟便不容易展示出來」(Egan 1997, 頁83) 。其領悟特徵包括：（一）現實中的極限、極致的經驗、生活中的背景；（二）在現實當中作出超越；（三）人性化的知識；（四）浪漫形式的理性。因此，在高小階段的教學設計中，可多引入一些神話和理性結合的浪漫元素（Egan, 1990; 1992;1997; 2005）。《現代小學數學》的教學設計，亦有引入一些奇特見聞及浪漫形式的理性等元素。例如4 下B 單元七的數學面面觀，便借助位於秘魯納斯卡沙漠高原上的巨大和神祕的地面圖案，以加深學生對周界這數學概念的思考（見圖二）；6 下A 單元二圓的認識，便以美麗的「麥田圈」作引入（見圖三），以提起學生對圓形圖案的興趣。
| 圖二：圖形的周界 |
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| 圖三：圓的認識 |
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哲理層面領悟：理論思考與真理追求
學養心智理論建議，十五歲至廿一歲青年是發展哲理層面領悟的重要階段。這種領悟的主要特徵是有系統的理論思維和堅持對真理作出尋求和論述。伊勤指出，「這種發展的背後原因是由於古希臘社會的獨特性，以及一群非常有智慧的哲人，他們非常果斷進取而成就了大事業。這批哲人憑着其獨有的想像力，從這個方向發展出新的心智工具去領悟事物，同時，他們更孜孜不倦地盡力完善這些工具，以及努力不懈地了解世界」(Egan 1997, 105 頁) 。畢達哥拉斯學派、希波克拉底學派和柏拉圖學派都是這類學術社群的最佳例子。哲理領悟的特徵包括：（一）對普遍性的渴求；（二）從超然物外的角色轉變為投入社會的參與者；（三）對確定性的追求；（四）理論藍圖和反常異例；以及（五）理論的適應性。
伊勤亦主張不同種類的領悟，不適合作簡單而整齊劃分，也不能夠視為獨立和分割的，因為各層面的領悟所代表的，並非是我們腦海中一些互不重疊的特徵。它們是不同的思考角度，而非不同的思考方式，通過這些角度，我們會專注和突顯世界和經驗中的某些特徵。再者，每種領悟並不會隨着另一種領悟的出現而逐漸消失或被取代，每種領悟都會在很大程度上與其後出現的領悟融合在一起。因此，雖然中學階段才是發展哲理層面領悟的重要時刻，在高小至初中教育階段的教學設計中，亦可以神話化和浪漫化的方式，引入一些初具哲理思考的元素(Egan,1990; 1992; 1997; 2005)。《現代小學數學》的教學設計，亦於高小階段引入這些元素。例如6 上B 單元八的數學小檔案，便引入圓錐截面及介紹十七世紀初開普勒所發現的其中一個行星定律( 見圖四)。此外，供教師參閱的專科教學手冊中，則對圓錐截面及圓錐曲線作更進一步介紹( 見圖五)。1
| 圖四：立體的截面 |
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| 圖五：圓錐截面及圓錐曲線 |
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非現實情境的教學設計實例
正如前文所提，在數學教學中引入非現實情境的生活化、遊戲化、故事化等教學設計，是值得大力提倡的。當然，「如何引導學生從非現實情境中，逐漸抽象化而理出相關的數學概念？」及「如何用嚴謹的數學方法得出結論？」等問題亦要小心回應，以免掉入數學的特質被淡化而至課堂教學形同「兒戲」這陷阱。但說來容易，實踐起來則困難重重，筆者認為，其中一個重要原因是「抽象化的數學概念」及「嚴謹的數學方法」，已進入中學階段哲理層面的範疇。換而言之，無論從理論角度或實踐經驗來看，一般高小甚至是初中學生，都未必有足夠成熟程度發展哲理層面領悟，從而作理論思考和真理追求。話雖如此，筆者堅信設計教學時，仍有不少「中間落墨」的方法，透過非現實情境的創設，引導高小學生循序漸進地學習「抽象化的數學概念」及「嚴謹的數學方法」。《現代小學數學》5 上A 單元三平行四邊形、三角形和梯形的面積就是一個好例子( 見圖六)。整個單元包含三課次共約十課節，現以單元內其中一些教學設計作解說。
| 圖六：平行四邊形、三角形和梯形的面積 |
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整個單元利用擬人方法，引入平行四邊形先生、三角形小姐和梯形太太來創設非現實情境，引導學生循序漸進地學習「抽象化的數學概念」。例如為使學生認識三角形的底和高這概念，就借用平行四邊形先生和三角形小姐爭論誰人較強的非現實情境來作引入（見圖七）。這教學設計一方面可配合高小學生的心智發展，另一方面亦可啟發他們對抽象數學概念的思考能力。
循序漸進地引導學生學習「嚴謹的數學方法」，亦是設計這個單元的重要方向。例如為使學生認識三角形面積公式是從平行四邊形面積公式演繹推論而來，就再次借用平行四邊形先生和三角形小姐爭論誰人較強的非現實情境來作舖排（見圖八）。這教學設計一方面以故事的連貫性和爭議性來迎合高小學生的心智發展，另一方面則以峰迴路轉的兩人較強結果，以吸引他們深入思考平行四邊形先生的道理，從而對演繹推論這「嚴謹的數學方法」作初步的認識和掌握。
| 圖七：三角形的底和高 |
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| 圖八：計算三角形面積的公式 |
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總結
正如之前所提， 弗蘭登塔爾主張數學教學若要保有其人本價值，數學應被視為一項活動(activity)，而非一堆有待灌輸的學習材料。數學教學乃是要提供合適的場景，協助學生進行數學活動， 從而「再發明」(reinvent)數學。其具體內涵之一是數學教學活動設計必須是情境化，而情境設計亦應包括兒童日常生活中所觸及和喜愛的具想像非現實經驗。奇雅宏伊勤的學養心智理論與弗蘭登塔爾的數學教育主張，甚具理論上的共通性。兩者的教育思想都以人為本，強調普及教育的重要，而且非常關注理念實踐上的各種細節，從而推動以兒童理解/ 領悟為中心和激發其想像力的教學設計。
本文集中與讀者分享一些的非現實情境的教學設計實例，第一個實例的主角為會說話的動物，旨在指出稀奇古怪的事物除能引起初小學生的學習興趣外，同時亦可以是益智的；第二及第三個例子均以地球上發現的大型神秘圖案為浪漫元素，以加深學生對周界這數學概念的思考及提起他們對圓形圖案的興趣。第四及第五個為哲理層面領悟實例，數學小檔案的主要對象為小六學生，旨在簡單介紹圓錐截面及十七世紀初開普勒所發現的其中一個行星定律；專科知識的主要對象為教師，介紹圓錐截面及圓錐曲線的研究歷史，教師可因應學生的能力和興趣作講解。最後的例子涵蓋一整個五年級單元，當中包含三課次共約十課節，本文只選取當中兩個課業作展示解釋，其一是引導學生循序漸進地認識三角形的底和高這「抽象化的數學概念」；其二是啟導學生對演繹推論這「嚴謹的數學方法」作初步的認識和掌握。希望透過這些實例，印證在數學教學中引入具想像的非現實情境，絕對不是「兒戲」的。
1 古希臘學者埃拉托塞尼（Eratosthenes）在公元前200 年計算地球的直徑，以及德國天文學家開普勒（Johann Kepler）於17 世紀初發現三大行星運動定律，都是啟發中學生哲理層面領悟的上佳歷史材料（鄧國俊，2002）。
參考文獻
鄧國俊（2002），〈哲理式領悟與中學數學教師教育〉，梁成安主編《廿一世紀教師的專業成長教育研討會論文集》，澳門: 澳門大學教育學院及澳門教育暨青年局, 頁63-70。
Egan, K. (1988a). Primary understanding: Education in early childhood.
New York and London: Routledge.
Egan, K. (1988b). Teaching as story telling : An alternative approach
to teaching and the curriculum. London: Routedge.
Egan, K. (1990). Romantic understanding: The development of rationality
and imagination, Ages 8-15. New York and London: Routledge.
Egan, K. (1992). Imagination in teaching and learning: The middle
school years. Chicago: The University of Chicago Press.
Egan, K. (1997). The educated mind: How cognitive tools shape
our understanding. Chicago: The University of Chicago Press.
Egan, K. (2005). An imaginative approach to teaching. San
Francisco: Jossey-Bass Publishers. |