引言
前文（第一至三篇）提到，在數學教學中採用情境化教學設計，是值得提倡的，然而，過份強調將情境加進數學內容中，可能會稀釋數學的內涵及阻礙學生的學習。香港近十年的數學化運動，是回應這挑戰的其中一個有效取徑。筆者則嘗試將弗蘭登塔爾（Hans Freudenthal）的數學教育主張及奇雅宏伊勤（Kieran Egan）的學養心智課程設計理論作融合，以回應「情境化 ─ 數學化」這挑戰。上文（第四篇）曾以《現代小學數學》其中一些課業內容，與讀者分享數個教學設計實例。本文再次從實踐角度出發，以兩個課堂教學實例來印證情境化數學教學絕非「兒戲」之說。
緣起
筆者六十年代初出生於澳門，八歲移居香港，故可以說是一個土生但半土長的澳門人。大學畢業後，由於對數學及教育感興趣，於是投身教育界，成為數學教師，並不斷進修，先後於香港大學教育學院取得教育文憑、教育碩士及哲學博士學位。筆者1999年完成的博士論文，就是以澳門數學課程的穩定性和轉變為題作深入研究，之後，更發表了多篇有關澳門及比較香港澳門的數學教育文章（如：鄧國俊，2005；鄧國俊、顏明仁及甘志強，2000，2001，2002；鄧國俊及貝磊，1994）。筆者由於近年在香港的師資培訓工作只是兼職性質，故能抽空到澳門與前線數學老師進行專業交流，活動形式除講座及觀課外，亦包括共同備課及協作教學。本學年（2014-15）筆者與一批小學數學老師更進一步，嘗試於共同備課後，由筆者親自實施一整課教學活動（其目的並非作示範教學，故稱為交流課），讓有關老師觀課及評課，從而使他們從情境化及數學專科教學角度，了解如何按部就班，並有系統地進行設計、實施、評估及反思，以優化課堂教學及改進其成效。
現選取其中兩節課堂教學作實例①，好讓讀者從中體會到奇雅宏伊勤的學養心智理論，是非常關注理念實踐上的各種細節，從而推動以兒童領悟／學習為中心和激發其想像力的教學活動（Egan, 1988a; 1988b; 1990; 1992; 1997; 2005; 2011）。
課堂教學實例一：平行線
香港小學課程安排學生於三年級認識和製作平行線，進而學習平行四邊形及其特性（香港課程發展議會，2000）。澳門小學課程則安排學生於二年級②以直觀的方法判別平行線及平行四邊形（澳門課程改革工作組1999a，頁24），進而安排學生於四年級認識平行線及其意義，並懂得用延長直線及量度兩條線之間的距離的方法，以判斷是否屬於平行線（澳門課程改革工作組1999b，頁126）。撇開澳門這判斷方法的要求是否合理又或是課堂教學實踐上具多少彈性，筆者與四位前線老師便嘗試用情境化設計及學養心智理論以接受這方面的挑戰（教案詳見附件一）。
教案的引入部份，開始是重温垂直線及其意義，並着學生找一些日常生活的例子，然後重温二年級以日常生活例子及直觀的方法以判別平行線這課題。由於「延長」的意思及準則曾困擾了很多代的數學家，因此，該教案設計的最大挑戰，就是希望學生認識平行線的意義，並以用延長直線的方法作判斷。
經一輪商討，我們決定以學生生活經驗出發，讓學生觀看一段約三分鐘的新聞片段：「聚光折射‧高溫加熱釀無名火！」（https://www.youtube.com/watch?v=dtTI8QJyOmQ）作為第一個活動，以帶出到達地球的太陽光線是「看不到的平行線」這具想像的非現實經驗。以這新聞片段為基礎，筆者再引入兩個歷史故事：第一個故事為阿基米德（Archimedes）以鏡子聚光火燒羅馬艦隊的傳說③；另一個故事是關於埃拉托塞尼（Eratosthenes）如何量度地球的直徑④。選擇採用這兩個歷史故事，除了是鞏固學生對「看不到的平行線」的認識外，亦可透過有趣的歷史故事，使學生認識這兩位數學家對數學和科學的貢獻。不過，由於對象是小四學生，筆者在講述故事的過程中，會側重神話和浪漫層面的領悟而非哲理層面的領悟⑤，亦即側重故事人物和內容的神秘性，及當中所展現的驚人智慧和成就。這設計除符合學養心智的理論框架外（Egan, 1997），亦符合布魯納的螺旋式課程設計的思考（Bruner, 1960），因為故事當中有關哲理層面的內容，學生將會在中學階段的數學或科學課堂中再次遇上。
課堂教學實例二：速率問題
香港小學課程安排學生於六年級學習速率和行程圖（香港課程發展議會，2000）。澳門小學課程則安排學生於初小對速率、路程和時間的關係有初步瞭解⑥，並於高小學習能解決生活中的簡單行程問題（澳門教育暨青年局2011，頁3）。交流課學校所採用的澳門教科書，安排學生在三年級下學期學會解答簡單涉及速率的問題，包括：根據路程和時間，找出相對應的速率；根據路程和速率，找出相對應的時間；根據時間和速率，找出相對應的路程。當學生升至五年級下學期，便要學習綜合上述三種情況以解決較複雜的速率問題。同樣地，撇開澳門的課程要求是否合理又或是實踐上具多少彈性，筆者與四位前線老師再次嘗試用情境化設計及學養心智理論以接受這方面的挑戰（教案詳見附件二）。
雖然學生在三年級時已學習解答簡單涉及速率的問題，但由於已是兩年前的事，加上當年他們的心智發展未必能有效理解這課題，故教案設計首先以哪叱、孫悟空（神話層面）及大炮台（浪漫及哲理層面）作引子，以提起學生的學習動機，並帶出速率作為一個數學及科學課題的重要性。筆者進而以不同類型的往返港澳客輪為例，幫助學生重温三年級下學期簡單涉及速率的問題：根據路程和時間，找出相對應的速率（噴射水翼船60公里花1小時；快達輪60公里花2小時）；根據路程和速率，找出相對應的時間（澳門號60公里以15公里/小時航行）；根據時間和速率，找出相對應的路程（澳門號以15公里/小時航行花2小時離開大嶼山）。
由於這個課題對五年級學生來說確實仍有一定的難度，加上他們要在這基礎上去學習解決複雜的速率問題，故筆者決定以速率格格工作紙，教導學生以程序化練習的方法，由淺入深和有條理系統地去處理三年級及五年級教科書內各種的速率問題，可惜由於篇幅所限，未能於此與讀者作深入探討和分享。
總結
本文從數學教育及課程設計理論出發，帶出兩個教學實踐示例：平行線及速率問題。總結而言，奇雅宏伊勤的課程設計理念與弗蘭登塔爾的數學教育主張，兩者的理論與實踐的共通性和兼容性都很大，兩者的教育思想都是以人為本和強調普及教育的重要性，而且非常關注教學實踐上的各種細節，因而能為老師提供一個非常清晰而有效的路向，以增進兒童對數學的理解和領悟，並激發其豐富的想像力。
參考文獻
- 香港課程發展議會（2000），《數學教育學習領域：數學課程指引（小一至小六）》，香港：政府印務局。
- 鄧國俊 (2005)，中學數學課程，貝磊及古鼎儀編（單文經校閱）《香港與澳門的教育與社會：從比較角度看延續與變化（第二版）》，香港：香港大學比較教育研究中心‧師大書苑，頁211-222。
- 鄧國俊、顏明仁及甘志強 (2000)。《澳門數學課程實施評估報告》，港澳兒童國際教育協會，澳門教育課程檢討計劃。（澳門教育暨青年司委託港澳兒童國際教育協會進行評估研究）
- 鄧國俊、顏明仁及甘志強 (2001)，具澳門特色的小學數學課程：異中求同 （上），《澳門教育》，2001年第4期，頁60-64。
- 鄧國俊、顏明仁及甘志強 (2002)，具澳門特色的小學數學課程：異中求同 （下），《澳門教育》，2002年第1期，頁14-17。
- 鄧國俊及貝磊 (1994)，多元化課程及進口教科書的影響－中學數學科的類型及發展，古鼎儀及馬慶堂編，《澳門教育－抉擇與自由》，澳門：澳門基金，頁70-86。
- 澳門教育暨青年局（2011），《小學數學基本學力要求（初稿）》，澳門：教育暨青年司。
- 澳門課程改革工作組（1999a），《數學大綱（小二）》，澳門：教育暨青年司。
- 澳門課程改革工作組（1999b），《數學大綱（小四）》，澳門：教育暨青年司。
- Bruner, J.S.(1960). The process of education. Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
- Egan, K.(1988a). Primary understanding: Education in early childhood. New York and London: Routledge.
- Egan, K.(1988b). Teaching as story telling : An alternative approach to teaching and the curriculum. London: Routedge.
- Egan, K.(1990). Romantic understanding: The development of rationality and imagination, Ages 8-15. New York and London: Routledge.
- Egan, K.(1992). Imagination in teaching and learning: The middle school years. Chicago: The University of Chicago Press.
- Egan, K.(1997). The educated mind: How cognitive tools shape our understanding. Chicago: The University of Chicago Press.
- Egan, K.(2005). An imaginative approach to teaching. San Francisco: Jossey-Bass Publishers.
- Egan, K.(2011). Learning in depth: A simple innovation that can transform schooling. Chicago: The University of Chicago Press.
附件一：小四平行線教案
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課題名稱
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平行線
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科目
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數學
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班級
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小四丁
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教材來源
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數學課本
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人數
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28
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時間
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40分鐘
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教節
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第一節 （ 共兩節 ）
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教學設計
及方法
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1. 情境化及學養心智理論
2. 透過提問的方法，讓學生多作思考，並利用視聽觀察法及動手操作讓學生領悟學習內容的重點。
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設計老師
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鄧國俊等
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教學資源
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教科書、教學簡報（網上短片）、直尺、及工作紙。
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學生已有知識
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1. 學生認識垂直線及其意義。
2. 學生能用不同的方法製作垂直線。
3. 學生已於二年級學習平行四邊形，但未了解平行線的概念，只以較直觀的方法判別平行四邊形。
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學習目標
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1. 學生認識平行線及其意義。
2. 懂得用延長直線的方法及量度兩條線之間的距離的方法判斷是否屬於平行線，
3. 學生能聯繫生活經驗，發展觀察及思考的能力。
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學習目標
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教學活動
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教具
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時間
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備註
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教
學
過
程
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準
備
活
動
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重温垂直線及其意義，並懂得找一些日常生活的例子。
重提二年級學習平行四邊形，但未了解平行線的概念，只以較直觀的方法判別。
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教學簡報 （頁1-7）
教學簡報
（頁8-14）
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2’
4’
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發
展
活
動
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1&3
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老師用情境化設計及學養心智理論 （浪漫及哲理層面）作教學活動，讓學生認識平行線及其意義：
聚光折射.高溫加熱 釀無名火!
https://www.youtube.com/watch?v=dtTI8QJyOmQ
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教學簡報
（頁15-6）
及網上影片
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8’
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1&3
|
老師講述更多歷史故事，以加深請學生對平行線及其意義的認識。
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教學簡報
（頁17-22）
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3’
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2
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觀察課本學習活動中各組直線，然後把各組直線分成兩類。請學生用直尺把各組直線延長，並引導他們把各組直線分為「延長後會相交」和「延長後不會相交」兩組，從而學生會自行發現Ａ、C和D組直線不會相交；B和E組直線會相交。
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教學簡報（頁23）
教科書
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5’
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學習這兩項平行線的特點，有助學生更嚴格地判別兩條直線是否平行線。
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2
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請學生用直尺量度課本學習活動中各垂直線的長度，從而帶出平行線的另一特點：兩條平行線之間的垂直距離處處都相等。
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教學簡報（頁23）
教科書
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4’
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2
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老師請學生完成課本學習活動中的判斷平行線的練習 （可提示學生把每組直線延長，看看會不會相交，加以驗證）。
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教科書
直尺
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4’
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2
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老師請學生獨立完成課本學習活動的找出各圖形中有多少組平行線 （可提示學生把各組的平行線塗上不同的顏色，再核對答案）。
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教科書
直尺
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4’
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學習目標
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教學活動
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教具
|
時間
|
備註
|
|
教
學
過
程
|
綜
合
活
動
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2&3
|
挑戰題：強調平行線必須是直線，而不是曲線或線段。
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教學簡報
（頁24-5）
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3’
|
鼓勵學生多留意生活中有關平行線的事物。
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1&2
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總結平行的意義：1.在同一個面上，永不相交的兩條直線稱為平行線。2.兩條平行線之間的垂直距離處處都相等。
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教學簡報
（頁26-7）
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3’
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附件二：小五速率問題
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課題名稱
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速率問題（一）
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科目
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數學
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班級
|
小五
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教材來源
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數學課本
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人數
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31
|
時間
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40分鐘
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教節
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第一節 （ 共二節 ）
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教學方法
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1. 情境化及學養心智理論
2. 程序化練習
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設計老師
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鄧國俊等
|
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教學資源
|
教科書、教學簡報及速率格格輔助工作紙。
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學生已有知識
|
學生在三下已初步學會解答涉及速率的問題，包括：
4. 根據路程和時間，找出相對應的速率
5. 根據路程和速率，找出相對應的時間
6. 根據時間和速率，找出相對應的路程
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|
學習目標
|
1. 學生能重温並解答上述三種速率問題。
2. 學生能綜合上述三種情況，解決較複雜的速率問題。
3. 學生能於這課題進行程序化練習
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學習目標
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教學活動
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教具
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時間
|
備註
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教
學
過
程
|
引
起
動
機
|
|
以哪叱廟、孫悟空（神話層面）及大炮台（浪漫及哲理層面）作引子，帶出速率作為一個數學課題的重要性。
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教學簡報 （頁2-7）
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3’
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|
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發
展
活
動
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1,3
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先簡介何謂程序化練習，然後二人互助小組，以來往港澳不同類型的客輪為例，重温三下已初步學會解答涉及速率的問題，並以速率格格工作紙，帶出程序化練習的方法和重要性：
a. 根據路程和時間，找出相對應的速率 （噴射水翼船60公里1小時；快達輪60公里2小時）
b. 根據路程和速率，找出相對應的時間 （澳門號60公里15公里/小時）
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教學簡報
（頁8-22）
速率格格輔助工作紙（程度一）
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12’
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餘下一組可為三人
示範如何作程序化練習（程度一）
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c. 根據時間和速率，找出相對應的路程 （澳門號15公里/小時2小時離開大嶼山）
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2
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二人互助小組，以練習的習題作程序化練習
個別差異照顧：
1. 後進生只需完成部分便可
2. 資優生完成後，剩餘時間可幫助其他同學或自行完成學習活動
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教學簡報
（頁23-30）
速率格格輔助工作紙（程度二）
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22’
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示範如何作程序化練習（程度二）
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總
結
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總結：
1. 速率格格輔助工作紙使用方法
2. 程序化練習的優點
家課：學習活動
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教學簡報（頁31）
教學簡報（頁32）
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3’
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① 兩個教學實例及有關附件內容主要取錄自鄧國俊（2015），〈數學教學設計：情境化的思考〉，載黃家樂、李玉潔、潘維凱（編）《香港數學教育會議2015論文集：多姿多采的數學課堂》，香港：香港數學教育學會,頁 188-197。特此鳴謝香港數學教育學會授權複印。
②《小學數學基本學力要求（初稿）》有關垂直和平行這基本學力（B-2-3)，只安排於第二學習階段中學習（澳門教育暨青年局2011，頁4）。
③ 有關這傳說的詳情及其真實性的討論，可參閱http://memo.cgu.edu.tw/yun-ju/CGUWeb/SciKnow/PhyNews/MirrorVillage.htm。
④ 有關詳情可參閱http://foundation.nmns.edu.tw/writing/hotnews_detail.php? gid=8&nid= 14。
⑤ 哲理層面領悟的主要特徵是有系統的理論思維和堅持對真理作出尋求和論述。哲理領悟的特徵包括：（一）對普遍性的渴求；（二）從超然物外的角色轉變為投入社會的參與者；（三）對確定性的追求；（四）理論藍圖和反常異例；以及（五）理論的適應性。
⑥ 由於較多試用老師反映，初小學生較難掌握此課題，筆者相信未來的《小學數學基本學力要求（修訂稿）》應會刪去初小學習速率這基本學力點（A-1-13)。
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