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前文提要 |
在本文的第一部分中，筆者介紹了拉希模型，並提供了該模型的公式
其中 p 為一個學生能成功答對一條題目的概率
B 為該學生的能力值
D 為該題目的難度值
而 B 及
D 皆為正數。
在本文的第二部分中，筆者用一個小測驗，說明了各題的難度值和各考生的能力值是怎樣計算出來的。 |
怎樣計算題庫新增題目的難度值
當試題庫加入了新題目後，負責管理題庫的分析員必須為那些新題目，以固有的準則，來計算它們的難度值。本部分將在這方面有詳細的介紹，並舉例說明執行的方法。
假設，我們的試題庫已有五條舊題目，其難度值經已在同文第二部分計算好（見第二部分 ， ， ， ， 之值）〔原文載於第84期同文之（二）〕。現在有三條新題目須加入題庫，我們應該怎樣計算它們的難度值呢？
為了計算新題目的難度值，第一個步驟就是用這些新題目和一些舊題目共同組成一張試卷，然後向一組學生施測，把收集了的數據利用第二部分所介紹的方法進行分析計算。（通常，我們會把數據輸入電腦，然後用既定的電腦程式（program）來作分析計算。）
作為一個實際的例子，我們取舊題目Q3，Q4，Q5（難度值已知，它們分別為，，）與新題目
Q6，Q7，Q8
共同組成一份試卷。在分析中，我們用6個新的未知數 ， ， ， ， ， 來
表示這六條題目的難度值。在計算的過程中，會到達下面的方程。
= k …………（21）
其中 k 為一個待定常數。
在這方程中，我們依照慣常的做法取 k = 1，則可得到 6 個未知數的值（參看表11的第 3 列）。在這個步驟中，我們發現，，不等於，，。那麼該怎樣辦呢？是否拉希模型在這裡行不通呢？
為了使 =，
=，
=，我們需要選擇合適的常數
k。k 值的計算有賴以下的比率： ， ， ，這些比率的值分別為
2.97，3.04 和 2.99，它們非常接近。
初步的觀察告訴我們應當取這 3 個值的平均數為 k 值。但是，這個領域的大部分專家推薦用這些值的幾何平均數（而不是用算術平均數）作為
k 值。因此，
k = 
= 
= 2.999
 3.00
當使用 k = 3（參看表 11 第四列），我們發現題目 Q3，Q4
和 Q5 的難度值與第 2 列所載的難度值非常接近，並且是根據題庫已有的準則，來釐定所有新題目的難度值，包括新題目
Q6，Q7 和 Q8
。所以無論在什麼時候，要向題庫添加新題目時，我們必須用這些步驟，來計算新題目的難度值。
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第一列
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第二列
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第三列
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第四列
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難度值
題目 |
五條題目的計算 |
六條題目的計算
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| k=1時的D值 |
k=1時的 值 |
k=3時的值 |
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Q1
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0.40
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-
|
-
|
|
Q2
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0.79
|
-
|
-
|
|
Q3
|
0.98
|
0.33
|
0.99
|
|
Q4
|
1.49
|
0.49
|
1.47
|
|
Q5
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2.15
|
0.72
|
2.16
|
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Q6
|
-
|
1.60
|
4.80
|
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Q7
|
-
|
1.80
|
5.40
|
|
Q8
|
-
|
3.00
|
9.00
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表11
從這個例子，我們可以看出新計算出來的難度值，只要乘一個適合的常數，便可以作為正確的難度值使用。而這常數的計算，則倚賴那些舊題目在新、舊難度值的差異。
在下一節，我們須要向讀者介紹「難度指數」δ 代替「難度值」D，而二者的關係是
D= =2.718
或 δ=log
D
（=2.718…，log
則是以 e 為底的對數）
用了「難度指數」，有甚麼好處呢？用了「難度指數」，好處多不勝數。k的計算可由幾何平均變為算術平均；新計算出的難度指數只要加一個適當的常數便可適用了。所以，要靈活運用拉希模型，我們要對指數的運算和使用應有相當的了解和認識。
「難度指數」的介紹
以指數形式表示難度值
在第二部分的例子裡，我們介紹了拉希模型，因而為每一條題目設置一個未知數（稱為難度值），及後我們用數學方法，成功地計算出這些未知數。請注意，這樣我們已在拉希模型的運用中，成功地踏出了第一步。但是，我們並沒有使用指數形式來表達，因此，在了解和使用拉希模型時，用指數形式來表達不是必須的。但是，在文獻裡，通常談及拉希模型的文章，都用指數形式來書寫。因此，在本節裡，我們希望讀者能熟悉運用指數表達的形式，以便將來閱讀其他有關拉希模型的文獻。
若用指數來表達，我們用 （其中
= 2.71828…）取代D的位置，因此 D = 。為了避免在本文中混淆，我們稱
δ 為「難度指數」（而 D 仍然稱為「難度值」）。
同樣地，我們用 
取代學生的「能力值」B，因此 B = 。為了避免混淆，我們稱β為「能力指數」（而
B 仍然稱為「能力值」）。
在本港中三 / 中四的數學課程裡，學生須要學指數函數（exponential functions）和對數函數（logarithmic
functions）並了解
2 = 10   
和 3 = 10 
的運作，可把乘法變為加法，例如
6 = 2 X 3
= 10
X 10
= 10
= 10
相信讀者們已慣用以 10 為底的對數，現在的指數表達的形式只是把對數的底的數值，由 10 轉換為 e，e 的值是 2.718…。
若使用指數形式來表達，拉希模型的公式便由
變為
其中 p 為一個學生能成功答對一條題目的概率
β為該學生的能力指數
δ為該題目的難度指數
用了難度指數來表達，表 11 的數值變成 了下面表 12 的數值。
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第一列
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第二列
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第三列
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第四列
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難度指數
題目 |
五條題目的計算 |
六條題目的計算
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常數=0時
δ的值(註3) |
常數=0時
 的值(註4) |
常數=1.10時
的值(註5) |
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Q1
|
-0.92(註1)
|
-
|
-
|
|
Q2
|
-0.23(註2)
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-
|
-
|
|
Q3
|
-0.02
|
-1.11
|
-0.01
|
|
Q4
|
0.40
|
-0.72
|
0.38
|
|
Q5
|
0.77
|
-0.33
|
0.77
|
|
Q6
|
-
|
0.47
|
1.57
|
|
Q7
|
-
|
0.59
|
1.69
|
|
Q8
|
-
|
1.10
|
2.20
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表12
註 1：從表 11 中，Q1 的 D = 0.40
因為 0.40 = 2.718   ，
所以 Q1 的δ= -0.92
註2：從表 11 中，Q2 的 D = 0.79
因為 0.79 = 2.718，
所以 Q2 的δ= -0.23
對於所有在表 11 和表 12 的對應格子的數字，都具有這樣的關係。
註3：在本列的五個數字（-0.92，-0.23， -0.02，0.40，0.77），它們的和是零，它們是由電腦程式計算出來的。這現象正與同文第二部分的方程（21）所說的事情相符。
同文第二部分這樣說
= 1 ……………… （21）
若以指數形式表（21），則把它寫成
e.e.e.e.e
= 1 = e ……… （22）
e
= e …………… （23）
δ1 + δ2 + δ3 +
δ4 + δ5 = 0 …… （24）
註4：在本列的六個數字（-1.11，-0.72， -0.33，0.47，0.59，1.10），它們的和是零，它們是由電腦程式計算出來的。理由已在註
3 說明了。
註5：把第三列的每一個數字加了 1.10 便成為第四列的數字。而第四列的數字正就是我們渴求的新題目的難度指數。 至於為甚麼要加
1.10 呢？它是怎樣計算出來的呢？
它是那三條舊題目（Q3，Q4，Q5）在新、舊指數的平均的差額。我們稱它為調整常數。
調整常數 = 舊題目的舊指數的平均 - 舊題目的新指數的平均
= (-0.02 + 0.40 + 0.77) / 3 -[(-1.11) + (-0.72) + (-0.33)] / 3
= 0.383 -[-0.72]
= 1.1033
 1.10
其所需的道理也很顯淺，讀者稍加思索，便會明白。
本文在前兩篇旳內容介紹了拉希模型和難度值的計算，好使讀者知道怎樣把題目庫內每一條題目，給予一個難度值。本篇則介紹題目庫加入了新的題目後所須做的跟進工作，這就是必須為每一條新加入的題目，設置一個用同一尺度計算的難度值。本篇亦開始引用「難度指數」，把「難度值」改寫為「難度指數」。在下一篇（最後一篇），本文將向讀者介紹拉希模型題目庫，在水平訂定方面的應用。
（下期待續）
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參考文件 |
| 1. |
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categories. Psychometrika, 43, 561-573. |
| 2. |
Masters,G..N. (1982). A Rasch model for partial credit scoring.
Psychometrika, 47, 149-174 |
| 3. |
Rasch,G. (1960). Probabilistic models for some intelligence
and attainment tests. Copenhagen: Danish Institute of Educational
Research. |
| 4. |
Willmott, A. and Fowles, D. The Objective Interpretation
of Test Performance: The Rasch Model Applied. Atlantic Highlands,
N.J.: NFER Publishing Co. Ltd., 1974. |
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