新的中小學數學課程，受了世界各地課程趨勢的影響，以四個學習階段和幾個學習範疇

其實數學是一門累積性的學科。不少學者曾指出，課程文件除了應包括教學的範圍外，最好亦應包含一個描述課題間脈絡的圖表。筆者近年曾對現行中小學數學課程以認識論作出分析，嘗試描述其中的一些進路 。所謂學習進路，不同於關乎預備知識的課業分析（task analysis），亦不是一個硬性的教學計劃或學習編序，而是嘗試探討學生透過學習不同的數學課題，有關的數學學養如何得到逐步的豐富。今以「數據處理」與「數與代數」兩個學習範疇作為例子，與大家分享筆者的一些個人想法。

數據處理
（小學階段）
孩童透過周遭事物所呈現的數據開始處理簡單、離散及少數量的數據。他們開始閱讀和繪製象形圖。於低年級他們只處理三組及以下的數據而所利用的象形只作一比一的代表。其後，孩童開始處理更多組別的數據，並開始將象形圖進一步延伸至方格圖（block graph）。由於所要處理的數據漸多，需要學習利用圖、表(table and chart)等更有系統的方式處理這些數據。

由於面對數據的量再進一步增多，必須用符號（無論是象形圖的象形還是方格圖的一個方格）代表某個單位的資料（一代表10或100之類）。

「不看逐個數據而看數據總體的全貌」這種「統計觀」開始得到發展，棒形圖的引入正配合這種學習。平均值的計算（包括透過棒形圖計算平均值）亦是在這個主線下得以引入。

於小學的後段，更巧妙的統計工具如雙棒形圖得到引入以鞏固統計觀和統計技巧。雖然距離連續數據（continuous data）的學習仍遠，折線圖亦在此時引進作為伏筆，隱晦地強化資料的整體趨勢並且淡化個別的數據。

（中學階段）
於初中，承接著小學的基礎，學生開始學習不少常用的統計圖以切合不同的處境，幹葉圖的引入用以處理分組數據（grouped data），而組織圖（histogram）、頻數多邊形及頻數曲線則用以處理連續數據。由於個別數據之提取於此階段已變得不重要，相反，描述整個資料組的統計量如平均數(mean)、中位數（median）以及眾數（mode）等集中趨勢（central tendency）卻更具意義。

再進一步，學生開始接觸統計推論，這也結合到統計的各種誤用。概率的引入亦是要對此作出配合。
此時考察數據組（而非個別數據）的想法應該已十分鞏固。於是我們除了以集中趨勢考察和比較不同的數據組外，還可進一步利用「離差」（dispersion）作出數據組之間的比較和分析。

最後，概率的概念已由常識性的理解提升到探究運算所涉及的法則，日後如有機會學習設基系統（包括概率空間及其他設基系統）時作伏線。利用這些強而有力的法則，學生可將概率應用到日常生活及其他相關學科的處境來。

數與代數
（小學階段）
孩童以排序、比較，進而數數開始接觸量的世界，並開始認識到以符號（1、2、3……）表示量的觀念。這些量並非獨立存在而是可以作出運算（四則）的。於是量與量之間存在著運算的法則和（代數）關係。這些法則所涉及的各種技巧得到逐步發展（最初，只是加法、後又有進位、借位、補零、對位、試商、調商等等），然而最初仍局限於兩位數。這些運算透過應用題得到深化，而應用題亦扮演了數學世界與日常生活的橋樑。

及後，孩童開始透過更複雜的運算（如超過兩位的數字），讓各種運算技巧得以純熟。再者，隨著所處理的運算愈來愈複雜，正整數系統（包括位值的觀念）開始浮現。

在正整數系統的基礎上，孩童第一次經歷（雖不必明確地點出）數系的擴展。分數、小數、百分數開始伴隨著除法、分物及種種日常生活遇到的問題逐一引入。孩童對數的觀念擴展了，而且開始了解到數字可以有多過一種表示方法（所謂表像representation），孩童亦以此解決更多類型之應用題。

於小學末段，由於孩童已獲得對數之豐富經驗，他們開始接觸大數，並發覺有學習約數（rounding off）之需要。他們開始學習數字的不同表示方式（分數、小數、百分數等）間之互化。孩童開始熟練四則混合算法等，把正有理數系統的理解完整起來，作為延伸到實數等之準備。代數符號雖然在初中以「□」的形式出現，於高小得到正式的引入。

（中學階段）
於初中，透過實算及其運算的引入，有理數系統可謂完整了，而學生對「數系」的認識亦可謂告一重要的段落。因為沒有極限的概念，實數系統其實是無法完整地介紹。學習的重點開始轉到符號的運算，如解線性方程、指數運算等。

在上面的基礎上，x已開始由「定態」之「未知數」轉而為「動態」的變量，成為正式進入變項的伏筆。在比例、公式、恆等式、代數式、多項式中，均涉及數字的變動（包括 "x"）。雖然如上所述，實數系統R無法完整地介紹，但首先從√2 等，學生意識到無理數的存在，再透過數線的這個幾何表示，實數系統得以充分的理解，而多項式更進一步把R 延伸到R[x]。

符號運算在高中得到大量延展，其中包括非線性方程與不等式之解法及多項式的四則，其中多項式的「除法」以因式分解及分式運算等體現，包含多項式的最小公倍式及最大公因式，以作通分母之用。由高次多項式之因式分解，引進餘式及因式定理，函數及其圖像得以強化。

最後，符號運算進一步擴展，其中包括變數法（variation）、有限數列（等比等差級數）、特定之函數如指數與對數等，亦包括聯立二元一次不等式。
以上初步的分析只屬於個人的解讀，毫無劃一化的意圖。但筆者深信，若教師能有一個數學進路的意識，對教學時交代其中之來龍去脈是有好處的。有興趣的也可來試試構作「量度」及「圖形與空間」學習範疇之進路。

註：
1. 小學階段分「數」、「代數」、「圖形與空間」、「量度」與「數據處理」五個範疇，中學階段則整合成三個。
2. 梁鑑添（1997）。香港數學課程——「一條龍」的思想。《數學教育》5期，5-9。
3. Fung, C.I., Wong, N.Y. (1997). (Unofficial) Mathematics Curriculum for Hong Kong: P.1 to S.5. Hong Kong: Hong Kong Association for Mathematics Education.
黃毅英（待刊）。從認識論的課程分析看現行中小學課程的幾個問題。載鄧幹明（編）。《學會學習：數學課程改革評析》。香港：香港數學教育學會。