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現代教育通訊
MERS Bulletin
現代教育通訊 89期 前期教訊:
第89期《現代教育通訊》
新學制下的小學數學教學
黃毅英
香港中文大學 課程與教學學系

  新學制實施在即,對小學教學有何影響呢?大家可以說影響不大,因為新學制只涉及高中;然而連串的教改與課改,已為整個數學教育帶來悄悄變化。首先,一條龍的想法把固有分家的中小學課程連貫起來。小學數學正正要為初中與高中奠定堅實的基礎。此外,中小學的課程發展自20世紀60年代新數學時期,以至千禧年的新課程都是要為學生制訂適切的學習內容,包括減省繁複計算,處理「繁、難、多、舊」,日常生活數學,適當引入現代計算工具等。其中着重促成理解的學習(learning with understanding)、概念性理解(conceptual understanding)、學習興趣和高層次能力。這正配合國際上之數學課程改革,重視資訊科技教學、高層次思維能力、道德價值、一般共通能力、生活數學、專題研習、愉快學習、態度及個別差異等

  學生着重探索令課堂變得互動,教師亦得自我裝備,以隨時回應學生的提問。這包含了數學內容知識、一般教學知識及教學內容知識三個範疇。事實上,基礎教育階段的數學一點並不「小兒科」。以數字的認識為例,最初由數數開始,在那個階段,數字是具體實物,到高中認識實數已是一種抽象的「人造物」了,中間需要為學生對數字的認識進行轉型,其中就是透過數線。實數雖然是高中的課題,但數線在小學引入了,中間(以前是高小,現在是初中)引入負數亦是透過數線。

  數線的引入就大有學問。現時流行用一些卡通人物在數線上行走以加深理解。這未嘗非一種學習之法,其實屬於一般教學知識;換言之,與數學內容沒有直接關係。以負負得正為例,於是老師就要真正理解其學科知識(見附錄1),不過這太深奧了,學生很難明白,於是最好能找得學生接受又帶有數學味道的解說,這就可能是教學內容知識了。例如神忠男便借助槓桿想法把負數看成將數線按原點反影,反影兩次回復原狀,於是負負得正。當然對於高中學生,若真想給予嚴格證明,還應給他看到其中的思路(見附錄2),否則流於死記硬背,由抽象到抽象。

  有些學生的提問比比皆是。例如廣州的一位同工便曾收到小學生提問:「點沒有大小,為甚麽由點構成的線具有長度?」翻查《幾何原本》,第一卷幾何基礎中用公設1確立了點與線的關係,即「過兩點能作且只能作一直線」,又進一步得出推論「兩條直線相交有且只有一個公共點」,除此沒有其他點與線的關係。現代數學發展了點與線的關係,把線看成是點的集合,從數學教學的角度形象地闡述為「點連續運動形成線」,但是對「連續」缺乏界定,這些問題暴露了數學自身的缺陷,也導致了三次數學危機。到第三次數學危機和希爾伯特重新整理歐幾里得的設基系統前,「連續統」(線段)的「內部構造」仍不很清楚。我們甚至不知道線的中間是否有「隙縫」。如此種種,都是教師須具備的數學內容知識

圖1 變與不變

  香港也有中學老師收到類似的問題:「學生問,何以同等周界的長方形和平行四邊形的面積會不一樣。平行四邊形的面積小了些,跑到哪裏去了?」筆者曾為之解答,詳見〈變與不變──面積逃到哪裏去了?〉一文,於此不贅。而其實小學已有涉及這類探索。我們在設計變式課程時,其中一種就是讓學生考察變與不變的關係,從變中得出不變的通則(圖1)。

  當然,無論對於小學、初中或高中,問題解決均是數學教育之核心。筆者一向認為除了非常規題(如奧數類型題目,這類題目當然有其作用)外,日常習題於發展學生問題解決能力中仍大有可為

  最近筆者與一些小學生探討他們解決一些日常小測數學題的方法,例如他們感到比較難做的一題:

「一瓶果汁,天慧喝去半瓶後再加入 150 毫升,現有果汁 600 毫升,這瓶果汁原有多少毫升?」

圖2 關係圖

  我們可以透過畫圖去協助思考(圖2)。我們在發展變式課程時也提過可以配合這些關係圖作題型分析,讓學生看到題型的變化(圖3)。這裏我們想提出重點不只是得出幾種標題的題型,而是讓學生看到題目與題目間之關係(關係性理解)。這也是數學學習上自小學到高中的一種一條龍式的學習。

圖3 題型分析〔來源:黃毅英、林智中、孫旭花(2006),頁39。〕

附錄1

負負得正

設 k 為 1 的加法逆元。首先證明 0 為「零化子」:0 (a) = (1 – 1)a = a – a = 0

今,1 + k = 0。

0 = (1 + k)k = k + kk

1 = 1 + (k + kk) = (1 + k) + kk = 0 + kk = kk

故 0 = –1(1 – 1) = –1 + (–1) (–1),

得 1 = (–1) (–1)。

附錄2

思路

※壓抑常識性判斷

※能用的東西只有:

 – 交換律、結合律、分配律

 – 0 是「零化子」

 – 1 + k = 0

 – 可作加法移項

 – 不必考慮除法

※先不考慮 2, 3, ...,故只考慮 0, 1, k

※它們僅有的關係是

  1 + k = 0

 – 移項:

  1 + k + 1 = 1

    1 + 0 = 1

  沒意思

 – 從零化子着手

  (a) 0·1 = 0 無意思

  (b)    0·k = 0

     (1 + k)k = 0

     k + k·k = 0

    抽它出來時要移走前面的 k:

   1 + k + k·k = 1

      k·k = 1

參考資料
感謝中文大學教育學院之學員提供部分實際事例。
鄧國俊、黃毅英、霍秉坤、顏明仁、黃家樂(2006),《香港近半世紀漫漫「小學數教路」:現代化、本土化、普及化、規範化與專業化》。香港:香港數學教育學會。
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Kwan, G. S. K. (2003),Highlights of the new mathematics curriculum in Hong Kong,載鄧幹明、曾倫尊(編)《學會學習:數學課程改革評析》(頁28—36)。香港:香港數學教育學會。
Wong, N. Y., Han, J. W., & Lee, P. Y. (2004). The Mathematics Curriculum: Towards Globalisation or Westernisation? In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.), How Chinese learn mathematics: Perspectives from insiders (pp. 27-70). Singapore: World Scientific. 中譯:黃毅英、韓繼偉、李秉彝(2005),〈數學課程:趨向全球化還是趨向西方化〉,載於范良火、黃毅英、蔡金法、李士錡(編)《華人如何學習數學》(頁24—61)。南京:江蘇教育出版社。
黃毅英、許世紅(2009),〈數學教學內容知識:結構特徵與研發舉例〉,《數學教育學報》18卷1期,5—9。
張家麟、黃毅英、韓藝詩(2009),《新高中數學學習領域的教學(必修部分)》。香港:課程發展處數學教育組。
黃毅英(2003),〈從認識論的課程分析看現行中小學課程的幾個問題〉,載鄧幹明、曾倫尊(編)《學會學習:數學課程改革評析》(頁3—24)。香港:香港數學教育學會。
黃毅英(2007),〈三次數學危機 ── 個人認知與體會〉,《中學數學教學研究》。2/2007,7—10。
Siu, F. K., & Siu, M. K. (1992). Why is (–) × (–) = (+) ?. Curriculum Forum, 2(2), 47 – 51.
神忠男(2002),《愛麗絲與孫悟空的數學之旅》。臺北:國際村文庫書店。
許世紅、黃毅英(待刊),〈研發數學教學內容知識,提高教師培訓效益〉。
黃毅英(待刊),〈變與不變 ── 面積逃到那裏去了?〉,《香港數理教育學會會刊》25期。
其中研究得到現代教育研究社資助,謹此鳴謝。
黃毅英、林智中、孫旭花(2006),《變式教學課程設計原理:數學課程改革的可能出路》。香港:香港中文大學教育學院香港教育研究所。
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Wong, N. Y. (1994). Enhancing students’ mathematics problem solving ability in day-to-day teaching. Curriculum Forum, 3(3), 24 – 33.
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