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現代教育通訊
MERS Bulletin
現代教育通訊 76期 前期教訊:
第76期《現代教育通訊》:數學解難的訓練與解題策略
數學解難的訓練與解題策略
陳卓堅
前教育署數學科督學

 

有關解難的理論,以下兩本書都有詳細的闡述,值得各位老師參讀:
1. 《怎樣解題》(How to Solve It
作者:George Polya
譯者:閻育蘇
出版:九章出版社
2. 《小學數學課程與教學》
作者:鄭振初
出版:香港教育學院

有關書中的內容,筆者不想在此處作詳細討論,讓老師們自己去研讀。然而筆者希望藉此機會談一談在解難教學時一些應注意的地方。

未談到解難的方法前,想跟大家分享在 《怎樣解題》一書的作者序中的一段:

一個數學教師有著極大的機會。如果他把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生,他就扼殺了學生的興趣,妨礙了他們的智力發展,從而錯用了他的機會。但是,如果他給他的學生以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心,並且用一些吸引人的問題來幫助他們解題,他就會引起學生們對獨立思考的興趣並教給他們一些方法。

書中提出的「極大機會」是指出在數學的課堂教學中應有極大的機會去訓練學生的思考、推理和引起他們去思考的興趣。如果我們只給學生例行運算的訓練,就會扼殺學生的學習興趣,妨礙他們的智力發展,從而錯用了教師在課堂的機會。適合學生程度而又具吸引力的問題,通過適當的指引,就會引起學生獨立思考的興趣。

回到解難的教學上,有三個問題是值得留意的:
Ⅰ. 認識數學語言
Ⅱ. 找出解決問題所需的數據及它們的關係
Ⅲ. 介紹不同的解難方法

Ⅰ.
如果學生能認識數學語言,在解題時出錯的機會就會減少,決定採用甚麼運算方式也容易得多。例如:
(a)
有關減法的應用題類型
i.
哥哥有5粒糖,吃了2粒後,還有多少粒?(取去)
ii.
哥哥有5粒糖,妹妹有2粒糖。哥哥比妹妹多幾粒?(比較)
iii.
哥哥有5粒糖,妹妹有2粒糖。妹妹比哥哥少幾粒?(比較)
iv.
哥哥有5粒糖,妹妹有2粒糖。兩人的糖相差多少粒?(比較)
v.
哥哥有5粒糖,其中2粒是果汁糖。不是果汁糖的有多少粒?(合併)
vi.
哥哥想吃5粒糖,但他只有2粒。他要再取多少粒才足夠?(續加)
vii.
哥哥原有若干粒糖,媽媽再給他2粒,他現有5粒糖。哥哥原有糖多少粒?(續加)

這些問題的題意都是有關「減法」,如果學生遇到這些問題時,可嘗試用減法去計算。不過他們還要先找出被減數和減數才能進行計算。

(b)
「甲比乙多,乙比甲少」的計算
i.
甲有32元,乙有24
ii.
乙數是甲數的60%
iii.
乙數比甲數小30%
iv.
甲和乙共有100元。甲比乙多20元。

我們計算這類問題時,原來除了要找出甲數和乙數的值,或兩數的比值之外,如要計算甲比乙多百分之幾時, 是 ;計算乙比甲少 百分之幾時則是。 其實甲比乙多百分之幾,是甲比乙多「乙的百分之幾」的簡說;而乙比甲少百分之幾,是乙比甲少「甲的百分之幾」的簡說,學生如能弄清這些數學語言,就不容易出錯了。

 

II.
通過提問找出解決問題所需的數據
(a)
速率——距離、時間
   

例:甲乙兩人同時從相距 100 公里的兩地出發,相向而行,甲每小時走 6 公里,乙每小時走 4 公里,甲帶了一隻小狗,小狗每小時跑 10 公里。小狗和甲一起出發,碰到乙時,它會調頭朝甲跑去,碰到甲時又掉頭朝乙跑去,直到兩人相遇。小狗共跑了多少公里?

求小狗所跑的距離,要找出牠的速率和所跑的時間。

兩人相遇時,需要時間:(即小狗所走的時間)
100 ÷ (6 + 4) = 10(小時)
所以,小狗共跑了:
10 x 10 = 100(公里)

以上是一題很常見的難題。這題看來似乎很複雜,但如果知道求距離時,只要計算出所需時間和相關的速率,問題就會迎刃而解了。

     
(b)
賺率——成本、賣價
   

例:雜貨店以 120 元購入了 100 隻鮮鴨蛋,其中4隻破了,把剩下的鮮鴨蛋以每打 18 元出售。求售出這批鮮鴨蛋的賺率。

剩下鮮鴨蛋:
(100 - 4) ÷ 12 = 8(打)
這批鮮鴨蛋的賣價是:
18 x 8 = 144(元)
所以,賺率是:
144 - 20
----------- x 100 = 20%
  120

這題也是常見的問題,轉折的題意使問題複雜化了,但其實只要找出「總買價」和「總賣價」就可計算出賺率。通過老師適當的提問,帶領學生逐步找出所需的數值,就能找出要求的結果。

     
 
(c)
平均數
   

例:乒乓球隊有隊員 10 人,他們的平均體重是 49 公斤。今學年有 2 個新隊員加入,其中一人重 50 公斤,另一人重 51 公斤。現在會員的平均體重是多少公斤?

乒乓球隊現有隊員:
10 + 2 = 12(人)
現在隊員的總體重是:
49 x 10 + 50 + 51 = 591(公斤)
現在隊員的平均體重是:
591 ÷ 12 = 49.25(公斤)

如果我們明白計算平均數時要先找出「總值」和「總次數」,此類問題也不大困難。把原來的平均數乘以人數就得回原本的總值,再加上新的數據就可計算出所需總值,從而求出新的平均體重了。

     
 
(d)
角的大小
    要求出三角形三個角的大小,需知道哪些條件?(註:此為初中數學問題)
   
i.
其中兩個角的大小
例:
   
ii.
等腰三角形中其中一個角的大小
例:
   
iii.
等邊三角形
例:

如果知道一個三角形的兩個角的大小,自然可以找出第三個角的大小,但是,如果只知道一個角的值時,自然要由其他資料找出另一個角的值,才可計算出第三個角的值;另一情況,若知道三角形的其中兩邊相等,從這個等腰三角形中自然可以由一個角計算出其餘兩個角的值了;如果三角形是等邊的,那麼每個角自然都是60°。如此老師可透過不同的提問,引導學生找出計算的途徑。

 

III.
不同的解難方法
解難的方法有很多種,這裡只略舉四種,以「雞兔問題」作例子。
(a)
先看看一題較簡單的「雞兔問題」:沙漠中有一群駱駝,其中有些是單峰駱駝,其餘的都是雙峰駱駝。已知共有駱駝 7 隻,牠們共有駝峰 10 個。單峰駱駝和雙峰駱駝各有多少隻?
   

方法一:假設
設雙峰駱駝有7隻,單峰駱駝有0隻。
共有駝峰:7 x 2 = 14(個)

多了四個,有4隻應為單峰駱駝

所以,有單峰駱駝4隻,
雙峰駱駝:7 - 4 = 3(隻)

     
     
    方法二:列表
雙峰駱駝
(隻)
單峰駱駝
(隻)
共有駝峰
(個)
1
8
1 x 2 + 8 = 10
2
6
2 x 2 + 6 = 10
3
4
3 x 2 + 4 = 10
4
2
4 x 2 + 2 = 10
   
雙峰駱駝
(隻)
單峰駱駝
(隻)
共有駝峰
(個)
0
7
7
1
6
8
2
5
9
3
4
10
4
3
11
5
2
12
6
1
13
7
0
14
     
     
   

方法三:代數
設雙峰駱駝有 x 隻,單峰駱駝有(7 - x )隻。
2x + (7 - x ) = 10
x + 7 = 10
x + 7 - 7 = 10 - 7
x = 3

所以,有雙峰駱駝 3 隻,單峰駱駝:7 - 3 = 4(隻)

     
     
    方法四:圖解

所以,有雙峰駱駝3隻,單峰駱駝 4隻。
     
     
     
(b)
再看看較複雜的問題:
農場裡有雞和兔共10隻,牠們共有32隻腳。農場裡共有雞和兔各多少隻?

 

方法一:假設
設兔有 10 隻,雞有 0 隻。
共有腳:4 x 10 = 40(隻)

多了8隻腳,每隻兔比每隻雞多2隻腳,即共多了兔:
8 ÷ 2 = 4 (隻)

所以,有雞 4 隻,
有兔:10 - 4 = 6(隻)

     
 
方法二:列表

(隻)

(隻)

(隻)

(隻)
共有腳
(隻)
10
20
0
0
20
5
10
5
20
30
4
8
6
24
32
所以,有雞 4 隻,有兔 6 隻。
     
 
方法三:代數
設兔有x隻,那麼,雞有(10 - x)隻。

所以,有兔 6 隻,有雞:
10 - 6 = 4(隻)
     
 

方法四:圖解

所以,有兔 6 隻,有雞 4 隻。

這些方法也是通過提問、討論才讓學生嘗試決定採用的方法,自行去找出答案。

 

這裡再提出其他不同類型的問題,藉此給老師一些解難教學上的啟發。
1.
樂樂正在排隊,排在他前面的有 8 人,後面的有 4 人。
樂樂排的一隊有多少人?(一年級題目)

可用圖解

所以,這一隊有13人。

不要小看這些簡單的問題,在中學的課程裡,學生也會遇到這類問題而出錯,例如在
x y 之間加上 5 個數,y 是第幾個數?很多學生不作繪圖就回答:y 是第 6 個數。

     
     
2.
7 個小朋友正在排隊上吊車,現只有兩部吊車,每部吊車最多只可載 5 人。齊來分一分,共有多少種分配座位的方法?(一年級題目)
     
 

方法一:列表
先列出 7 的所有組合,分配到兩部吊車中。

共有 4 種分配座位的方法。

     
     
 

方法二:另一種列表法
吊車 A 坐滿人時,餘下的 2 人坐吊車 B;如果吊車 A 只坐 4 人,餘下的 3 人坐吊車 B ……
還餘一人
共有 4 種分配座位的方法。
這是一題開放性的題目,可讓學生學習解答一些問題並非只得一個答案的。

     
     
3.
畫紙一批,數量在 50 90 張之間。如果把這些畫紙分成每 20 張一份,最後會餘下 8 張。這批畫紙的實際數量可能是多少張?(四年級題目)
 

方法一
可先「逐一數出」不同份數畫紙的數量,然後加上餘下的張數,便可找出答案。

所以,這批畫紙的實際數量可能是 6888 張。

     
     
  方法二
可先從資料中「猜出」大約的張數,然後加上餘下的張數,便可找出答案。
a)先找出 50 之前一個「20 的倍數」,即是 40,從這個數開始,列出比 90 小的「20 的倍數」,有 406080
b)因每 20 張一份最後會餘下8張,所以把步驟(a)列出的數加上8,即是 486888
c)步驟 2 列出的數中,在 5090 之間的有 68 88
d)所以,這批畫紙的實際數量可能是 6888 張。
     
     
4.
一個長方形長 8 厘米,闊 5 厘米。如果把它的闊加長至 7 厘米,新長方形的面積與原來的相差多少平方厘米?
(四年級題目)
 

方法一
先找出新長方形的面積和原來長方形的面積,然後相減。
增加了的部分闊:
7 - 5 = 2cm
增加了部分的面積是:
8 x 2 = 16cm2

所以,新長方形的面積與原來的相差 16 平方厘米。

     
     
 

方法二
可從圖中得知答案是增加了的長方形面積。
新長方形的面積是:
8 x 7 = 56cm2
原來長方形的面積是:
8 x 5 = 40cm2

新長方形的面積與原來的相差:
56 - 40 = 16cm2

     
     
5.
下圖是由 6 個相同大小的正方形拼砌而成的。
要計算整個圖形的周界,最少要知道哪些邊的長度,才有足夠資料來計算? (四年級題目)
  可以把圖形的邊移動,轉變為一大正方形,過程中周界的長度沒有改變。見右圖:
周界是:
小正方形的邊長 x 12
所以只需要知道小正方形的邊長便可。
     
     
6.
把一個長方形用不同方法分割成相同的兩部分,下列哪一個著色部分圖形的周界最長?(四年級題目)

A
B
C
D

A. B. C. D.如果把長方形分割成相同的兩等份時,左邊的邊不變,上下一組對邊的總長度和原來長方形一邊的長度相等,只要比較虛線的邊就可決定哪個圖形的周界最長。
     

總括而言,作為一位數學教師,除了教學生計算外,還應教懂學生如何思考。這裡只介紹了在解難時要注意的三點:明白數學語言,更能掌握解題時的目標;知道數與數的關係,便容易知道解難時的方向;用不同的解難方法,更易於找出答案。學生掌握了數學邏輯思考的方法,便能利用此「技能」去學習數學及探究數學問題了。我們如果在解難的方法上有進一步的了解,對學生學習數學或其他科目也有很大的裨益,並且對怎樣解決問題也會更有把握。